Мы коснемся здесь вещей, которые на первый взгляд имеют лишь косвенное отношение к случайному, но это только на первый взгляд. Потому что нам важно не только строго определить случайное, но и понять, откуда оно берется. Если я не могу показать, откуда в природе берется случайное, то, о каком понимании, о какой аксиоматике может идти речь?
Всякая наука должна быть полезной и этого вполне можно достичь и без анализа тех оснований, на которые наука опирается. Эти основания или условия существования невозможно доказать, с ними можно только согласиться или принять на веру. Нам, утверждающим о принципиальной разнице между наукой и религией, очень важно понимать, что основания любой науки принимаются на веру. Иногда их можно проверить опытом, но в любом случае они не могут быть постигнуты разумом, потому что разум постигает только цепочку из причин и следствий, понять же первый элемент цепочки невозможно, так как в его существовании мы не находим причины. Как ни крути и какими мудреными терминами не пользуйся ("неопределяемые понятия" в математической аксиоматике), а в основаниях не может быть ничего кроме веры.
Насколько важно понимание того, что же положено в основания, мы покажем здесь на примере теории вероятностей, геометрии пространства и механики. Как известно теория вероятностей вообще обходится без оснований, так как не определяет случайное. Объясняется это тем, что до сих пор не решен вопрос о природе случайного. Большинство придерживается лапласовской точки зрения - случайное только на поверхности, если заглянуть глубже, то всему можно отыскать причину. Таким образом, оно вроде бы и есть, но если вдуматься и отыскать ему причину, то его вроде бы и нет. Большинство продолжает не обращать внимания на принцип неопределенности Гейзенберга, тем более, что Бор поспешил прикрыть наготу неприличного принципа одеждами принципа дополнительности. Таким образом, случайное до сих пор не узаконено, до сих пор это "то, не знаю что".
Опираясь на представление о случайном как на "то, не знаю что", Гаусс доказывает закон нормального распределения погрешностей, Максвелл тот же закон для скоростей частиц термодинамического процесса, а Чебышев тот же закон применительно к случайному вообще, в виде центральной предельной теоремы.
Если посмотреть на мир иначе, допустив существование в природе случайного, одним из атрибутов которого является нормальный закон, то тогда невозможно будет каждый раз "доказывать", зато мы обретем твердую почву для понимания случайного в этом мире. Слово доказывать взято в кавычки, потому что я не верю в возможность строгих доказательств без ясности оснований. А нестрогие доказательства это те же аксиомы или основания, в которых нет ничего, кроме веры. При этом неважно, отдает себе в этом отчет автор доказательства или он доказывает "искренне".
Теперь нам следует выбрать, что же лучше - один раз "поверить" в существование случайного и единство его проявлений в природе или, каждый раз, сталкиваясь с его проявлениями, "доказывать" для них нормальный закон? Ведь показал же нам Галилей, что предположить ускорение свободного падения единым для всех падающих тел, значительнее проще, чем исследовать падение каждого тела, и доказывать для него "его" ускорение свободного падения. И хотя последний путь (ничего не принимать на веру) более последователен, мы прибегаем к нему только в крайних случаях, когда обнаруживаем парадоксы.
Конечно, никакая аксиоматика не может ни заменить, ни уточнить опыт, но, получив ясное представление о причинах, порождающих случайное и делающих его неизбежным в этом мире, мы получим возможность понять и сам опыт, подтверждающий неопределенность или случайное.
Выше мы говорили о принципиальной невозможности строгой аргументации оснований, но есть нестрогая или "качественная". По Декарту истинно то, что ясно для нашего сознания, а ясно то, что просто. Другими словами, материальный мир устроен так, что для всякого бытия мы находим, в конце концов, простые и ясные объяснения, отыскав же простоту и ясность, мы неизбежно приходим к единственности аргументации. Там где нет единственности аргументации, там нет и понимания, там не может быть материальности или бытия.
При этом совершенно неважно, является ли нечто существующее результатом эволюции материи или делом рук человека. Швейная машинка, придуманная по неевклидовой геометрии, не могла бы существовать только потому, что в ее чертежах не было бы ясности, никто бы ни взялся ее изготовить. Это на страницах диссертаций можно "представить себе существ, живущих на поверхности сферы, и не подозревающих о третьем измерении". Вы попробуйте изготовить деталь с "кривизной пространства".
Неевклидовы геометрии "не истинны" в том смысле, что в них нет ясности, а не в том, что их нельзя придумать или к ним нельзя придумать "непротиворечивые условия существования" в виде аксиом. Придумать то можно, но нельзя проверить опытом в этом мире, потому что условия существования или аксиомы этого мира уже существуют, и первая из них открылась Декарту: "Что ясно, то и истинно, то и материально".
С этих позиций легко разрешить спор о том действительно ли Гаусс раньше других пришел к неевклидовой геометрии, и почему сразу же не заявил об этом "городу и миру". Достаточно будет одного высказывания Гаусса: "Риманова геометрия была бы геометрией мира, если бы евклидова не была истинной".
Рассматривая основания евклидовой геометрии, мы хотим обратить внимание на то, что она допускает, по крайней мере, три равносильные аксиоматические системы: Пиери (идея движения), Гильберта (идея равенства) и Кагана (идея протяженности, мнимой конечно) [8]. Такое количество равносильных систем - плохой симптом, человечество может позволить себе и большую роскошь, но не природа.
Но самое главное, что ни в одной из систем нет понятия протяженности или количественной меры пространства, есть лишь намерения связать длину отрезка с числом, но прежде чем связывать, необходимо отрезок иметь, необходимо уметь его строить. Попробуйте отличить две точки, не используя понятия протяженности или расстояния. Получается замкнутый круг, из которого нет выхода в теории континуума, но на практике всегда можно взять меру протяженности в физике, "незаметно" выйдя из системы аксиом евклидовой геометрии континуума в реальный дискретный мир [9].
Нам очень важно уяснить, что без понятия протяженности нет никакой стройной и полной аксиоматики геометрии пространства, нет ясности, а стало быть, нет истинности. Какова же истинная геометрия пространства? Она не может не содержать в себе внутреннюю меру в виде кванта пространства или другими словами она не может не быть дискретной.
Если мы до сих пор сомневаемся в дискретности, то, наверное, квант пространства настолько мал, что эту дискретность в большинстве задач можно не учитывать. В большинстве, но не при объяснении случайного, проявляющегося через принцип неопределенности Гейзенберга или через нормальный закон распределения погрешностей. Если бы пространство было непрерывным, то в нем не было бы места случайному (Лаплас).
Случайное в этом мире является следствием дискретности материи, пространства и времени, следствием того, что в дискретном мире все может быть определено только с точностью до кванта. Следствием того, что в дискретном пространстве не может быть прямых линий, для любой ломаной, "ближайшей" к гипотетической прямой всегда можно отыскать множество равноценных альтернатив. А равноценная альтернатива это и есть случайное.
Раньше я не мог понять усилий, направленных на построение оснований геометрии после того, как уже построена сама геометрия, ведь ни один из результатов, полученных более 1000 лет назад не изменился. Теперь я благодарен этим ученым, они помогли доказать несостоятельность геометрии континуума через неполноту и не единственность ее аксиоматических систем.
Все мои знакомые утверждают, что так не бывает, что "великие не могли не увидеть неполноту аксиом геометрии". Дело в том, что мы видим в основном разумом и поэтому видим только то, что хотим увидеть. Для того чтобы увидеть, необходимо вначале поверить в то, что ты хочешь увидеть, необходимо усомниться в континууме. Если бы Евклид был "атомист" в такой же степени, как и Демокрит, то он бы и обнаружил. А как Гильберт мог увидеть, если он "жил" в мире континуума: "Никто не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором".
"Просмотрели" потому что никто и не искал в этом направлении, потому что знания в этом мире ни к кому не приходят просто так. Многие до Фуко видели маятник, но никто "не видел" в нем аргумент в пользу вращения земли. Фуко искал, а остальные "просто смотрели" и "просмотрели". Не знаю, убедил ли я вас, что именно так и бывает. Мы никого не собираемся "изгонять из рая", но тем, кто собрался идти дальше, придется спуститься на землю.
В заключение обсуждения оснований геометрии приведем мнение Римана [10]: "...в случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного многообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда видно что, то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие..."
Другими словами Риман как бы говорит нам: "Если руководствоваться логикой, то реальное пространство должно быть дискретным, потому что оно самодостаточно. Но если вы желаете считать его непрерывным, то пусть так и будет, но недостающую меру протяженности вам придется поискать где-то в другом месте. Я не знаю, где может быть это место, но его точно нет в непрерывном пространстве". Хороши же основания, недостающую часть которых рекомендуется где-то поискать!
К чести Римана следует подчеркнуть, что он отметил отсутствие внутренней меры для континуума и необходимость дополнить ею основания геометрии, привнеся ее откуда-то извне, в то время как другие, искренне не понимают в чем проблема и о чем идет речь (Гильберт, Пиери, Каган). Я не принимаю риманову геометрию как геометрию мира и согласен с Гауссом, в том, что это научная фантастика. И я не могу обойтись без Римана, потому что не знаю никого, кто вместе со мной считал бы, что мера в непрерывном пространстве это не более чем фокус. (Древнегреческие атомисты не в счет, кроме меня, их никто не воспринимает всерьез.)
Процесс о "дискредитации" континуум - пространства растянулся примерно на 150 лет. Первым обвинителем был Риман, совершенно недвусмысленно заявивший о неполноте его аксиом и необходимости дополнения их мерой протяженности из "другого места". Мы поставили в этом процессе точку, заявив, что "другого места" нет и быть не может. Другого места быть не может потому что "выйти" можно из геометрии, а затем вернуться туда с линейкой. Но если мы люди серьезные и считаем свою геометрию "геометрией мира", то мы должны понять, что нельзя выйти из пространства, а затем вернуться туда с линейкой.
Об основаниях механики написано и пишется так много, что невольно убеждаешься в правоте старой истины - там, где есть многословие, не может быть понимания. Мы же попробуем продолжить эту мысль - пониманию достаточно будет и нескольких предложений.
После Ньютона механика обрела основания в виде единицы массы, которая отождествлялась с материей, единицы протяженности непрерывного евклидова пространства и единицы времени. Все было убедительно до тех пор, пока экспериментально не была установлена зависимость массы от скорости, превращение массы в энергию и наоборот. Масса превращалась в то, чего вообще не было в основаниях. Энергия получила такие же права представлять материю, как и масса. Сложилась парадоксальная ситуация - ни масса, ни энергия не могут быть теперь основаниями, потому что основанием не может быть понятие, превращающееся в другое понятие.
Если предположить существование кванта материи, то понятия массы и энергии выстраиваются из него также естественно, как день сменяющий ночь. Но так устроен этот мир, что к простым решениям мы приходим после сотни, а иногда и тысячи лет блужданий (теория относительности Галилея-Пуанкаре-Эйнштейна и астрономия Птолемея соответственно). При этом мы, конечно, понимаем, что окажись Коперник на месте Птолемея, то ничего лучшего он бы не придумал, потому что такова участь первых. Мы должны понимать, что заблуждаются не люди, а время, поэтому мы должны быть благодарны обоим одинаково, без первого не было бы второго.
Мы добавили Галилея к отцам теории относительности не случайно, потому что его утверждение "я совершенно убежден в отсутствии всякой ценности всех опытов проводимых для доказательства обращения Земли" [11], совершенно в духе теории относительности. Тот, кто отрицает абсолютное, тот отрицает логические основания, а кто отрицает основания, тот обречен на внутренние противоречия или парадоксы. Приведем здесь несколько соображений в пользу абсолютного [6,9].
Во-первых, то, что движется, имеет больше квантов материи (большую массу), по отношению к покоящемуся, а кванты можно считать абсолютно строго. Во-вторых, местное время замедляется - движущиеся часы "тикают" медленнее неподвижных. В третьих, температура и давление газа в движущемся сосуде будут меньше, чем в неподвижном, по той причине, что для любой конечной скорости увеличение скорости упорядоченного движения (скорость сосуда) неизбежно приведет к снижению скорости хаотического или теплового движения. Конечно, эти опыты сегодня будут убедительны не более опыта Майкельсона - Морли, но все начинается с понимания, будет понимание того, что в этом мире есть абсолютное пространство и время, будут и убедительные опыты.
Сейчас самое время взяться за критику оснований случайного, но критиковать нечего, оснований случайного нет. К основаниям в виде "может быть, а может не быть" [1] или "каждому элементу сигма - алгебры системы S предписывается число P(A), называемое вероятностью данного события и т.д." [2] нельзя применять критику.
Во-первых, потому что они ее не выдержат. Во-вторых, потому что хотя на случайное и смотрели как на "то, не знаю что", мы не можем не видеть практической пользы, которую приносит теория вероятностей. В третьих, потому, что теория вероятностей и наука о случайном это не одно и тоже. Наконец еще и потому, что всякому знанию необходима историческая востребованность. Мы думаем, что эта востребованность наступила, сколько же можно мучиться гамлетовским вопросом: "Бог не играет в кости (Эйнштейн), или все же играет (Гейзенберг)?" Эта востребованность не может идти со стороны теории вероятностей, там есть свой "рай", построенный Колмогоровым, она идет от механики, она нужна механике. Тем более что этот мир и есть сплошная механика.
6. ЧИСЛО "ПИ=3.14..." И ПРОСТРАНСТВО ДИСКРЕТНОГО МИРА
Трудно не согласиться с тем, что пространство, имеющее свою внутреннюю меру в виде кванта пространства, предпочтительнее пространства без такой меры. Во всяком случае, тогда бы мы не мучились вопросом "как материи удается поддерживать постоянство скорости света или постоянство длины волны", потому что это совершенно невозможно без понятия внутренней (доступной для материи) меры. Почему же такая естественная мера, как квант пространства, не применяется нами?
Здесь есть принципиальные трудности. Во-первых, дискретность, также как и непрерывность, нельзя ввести "немножко" или "кое-где", так, как она введена сейчас (в основном для квантов энергии и курса квантовой механики). Мир либо непрерывен, либо дискретен, каша может быть в нашей голове, но не у материи. Во-вторых, дискретное пространство не может быть аморфным или никаким, как это имеет место для континуума, оно обязано иметь структуру. Потому что стоит только нарисовать квант пространства, как сразу же следует отвечать на вопрос о том, как он соотносится с соседними квантами, а это и есть структура.
Ну, хорошо, пусть будет структура, что же плохого в структуре? В структуре действительно нет ничего плохого, если ее понять, но как раз этого понимания и нет до сих пор. Поэтому модели дискретного пространства выглядят смешными. Пусть уж лучше непрерывное пространство с его неразрешимой проблемой внутренней меры, чем смешное дискретное - примерно так думают многие. Почему же здравая идея кванта пространства, при попытке ее реализации оказывается не более чем смешной?
Когда мы рассматриваем пространство без внутренней структуры или никакое, мы можем выстраивать в нем любые фигуры, так же, как эти фигуры рисуются на чистом листе бумаги. В "структурном" же пространстве любые построения должны соответствовать структуре. Например, я предлагаю структуру пространства в виде шахматных клеток. Тогда мне следует показать, как нарисовать окружность так, чтобы любой радиус состоял из почти одинакового числа квантов или клеток. На шахматной доске это невозможно получить, так как там есть выделенные ортогональные направления. Если двигаться по клеткам только через их грани, то движение "по диагонали всегда будет равно сумме движений по двум катетам. Таким образом, пространство шахматных клеток не обладает одинаковостью свойств в любом направлении или изотропностью.
Ладно, тогда давайте придумаем кванты посложнее клеток, которые бы могли снять это противоречие. До меня пробовали, и я пробовал - ничего не получается. Когда же я задумался, почему не получается, то пришел к выводу о том, что понятия "изотропность" и "структура" взаимоисключающие, там, где есть структура, не может быть однородности свойств в любом направлении. Поэтому любые модели дискретного пространства и получаются смешными.
Подведем итог, который может легко похоронить идею атомизма - кванты пространства предполагают правила их расположения или соединения, правила неизбежно рождают структуру, а структура неизбежно входит в противоречие с изотропностью. Атомизм может выжить только в одном единственном случае - если кванты пространства соединяются "без правил" или хаотично. Показать это легко, а вот принять необычайно трудно.
Представим себе груду детских кубиков и коробку для них. Если мы располагаем временем, то можем аккуратно сложить кубики в коробке, и тогда у нас получится структура. Если же мы наспех набросаем кубики в коробку, мы не получим структуры! Я ничего плохого не хочу сказать о создателе, но, похоже, что аккуратно складывать кубики трудно не только детям. Это также сложно принять нашему разуму, как и то, что на другой стороне земного шара люди живут "вверх ногами". И, тем не менее, это так.
Оказывается гармония вселенной, написанная по Галилею языком математики ("треугольники, круги и др. геометрические фигуры"), зиждется на хаосе. В противном случае треугольники бы были, а вот круги - нет, потому что круг есть изотропность в чистом виде. Это последнее свойство, а также то, что кванты можно строго считать, делают число "пи=3.14" такой же мировой константой, как и скорость света. Там где подтверждается число "пи", там пространство евклидово.
Теперь обратимся к истории числа "пи" [12]. По определению это отношение длины окружности к диаметру и долгое время не прекращались попытки найти два магических целых числа, выражающие "пи". После доказательства иррациональности числа "пи", они потеряли смысл, но не потерял смысла вопрос "откуда у пространства берется иррациональность или несоизмеримость". Последняя заключается в том, что меру одного отрезка нельзя выразить через меру другого конечным числом.
Почему катет равнобедренного прямоугольного треугольника не может быть выражен через гипотенузу (корень квадратный из двух), а длина окружности через ее диаметр? Наш разум отказывается понять, почему три конечные стороны треугольника не могут быть выражены конечными числами. И правильно делает, потому что пока мы не объясним этот парадокс, мы не сможем понять пространство. Математика в доказательстве этого опирается на бесконечную делимость пространства, но она не знает, есть ли эта делимость в природе.
Теперь, когда мы знаем, что структура квантового пространства не может не быть хаотичной или случайной, природу несоизмеримости можно действительно показать, теперь нет необходимости в привлечении бесконечного, следовательно, возможно понимание. Теперь я могу иррациональность объяснить своему сыну.
Предположим, диаметр равен 100 квантам, а окружность равна 314 квантам. Увеличим диаметр в 10 раз, при этом окружность увеличится в 10 раз плюс случайное число (314*10+1). Откуда же берется это случайное число? Из хаотичной структуры пространства. Для диаметра в 1000 квантов это число в разных местах пространства может быть и нулем и двойкой и любым другим, но, усредняя все большее число опытов, мы получим единицу. При каждом увеличении диаметра относительное влияние случайного числа будет все меньше, но пропорция между диаметром и окружностью никогда не будет стабильной. В дискретном мире не бывает круга вообще, каждый круг имеет конкретный диаметр и свое число "пи", определяемое двумя целыми конечными числами: длиной окружности и диаметром в квантах пространства.
Истина опять оказалась посередине. Одинаково не правы, оказались обе стороны: те, кто пытался найти два магических числа для числа "пи", и те, кто считал (и продолжает считать) что свойства круга никак не связаны с его абсолютными размерами. Связаны же они тем, что чем большим будет круг, тем меньшим будет отличие фактического числа "пи" от его идеального значения 3.14159...
Чем же тогда объяснить постоянство отношения сторон равностороннего треугольника или квадрата, при их неограниченном увеличении? Возможно, здесь мы имеем дело с уникальным случаем взаимной компенсации "погрешностей" для сторон, образующих симметричные фигуры в пространстве. Конечно, и здесь подразумеваются результаты после множества усреднений. Таких случаев "устойчивых пропорций" не так уж и много, как немного случаев целочисленных решений в геометрии. Для того же квадрата нет устойчивой пропорции между диагональю и стороной (корень квадратный из двух). Диагональ нарушает симметрию, а в круге нет симметрии между диаметром и дугой окружности.
Что же лучше, считать пространство непрерывным и при этом похоронить всякую надежду понять несоизмеримость двух отрезков, или же, предположив дискретность, потерять абсолютную соизмеримость, обретая приблизительную? Теперь случайное (неопределенность, приблизительность) должно присутствовать абсолютно во всем. Отложив целое число квантов в любом направлении, нельзя утверждать абсолютное тождество полученных отрезков, а можно лишь утверждать, что чем больше будет шагов, тем меньшими будут различия
Случайное в этом мире неизбежно постольку, поскольку трехмерное пространство нельзя заполнить одинаковыми квантами так, чтобы в любом направлении можно было провести прямую линию, а можно заполнить только так, что ни в одном из направлений нельзя провести прямую, а можно только ломаные, причем нельзя будет сказать какую же ломаную предпочесть - всегда найдется равноценная альтернатива.
Все это есть у Эпикура, но мы будем снова и снова обращать на это внимание, потому что Эпикур знал, что следует отвечать на вопрос Эйнштейна "откуда у материи может взяться неопределенность", а Гейзенберг не знал - "нельзя же отрицать опыт". Эйнштейн отрицал не опыт, а отсутствие его понимания.
Дальше необходимы модели и расчеты. Если модель покажет непостоянство пропорции между диаметром и окружностью (число "пи") и постоянство пропорции сторон равностороннего треугольника и квадрата для разных абсолютных размеров, то можно браться за очередные "Основания геометрии". Я нисколько не сомневаюсь в возможности построения такой модели, раз она уже есть в природе. По сравнению с задачей, которую ставил перед собой Кант (найти логические аргументы в пользу трех мерности, а не двух или четырех), наша задача представляется менее сложной, так как мы хотим понять не создателя, а произведение (не то, что замышлялось, а то, что получилось, и неплохо получилось).
Если бы вселенная действительно была бы написана языком математики, то в ней может быть, и были бы галилеевы треугольники, но нас не было бы точно. Совершенно другим путем я пришел к тому же, что и Дарвин - мы обязаны своим существованием случайному.
7. ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ДИСКРЕТНОГО МИРА БЕСКОНЕЧНОГО ВО ВРЕМЕНИ ИЛИ ПРОСТРАНСТВЕ: ФЕНОМЕН ПОВТОРЯЕМОСТИ
Предположение о дискретности состояний дает возможность строгого подсчета всех их мыслимых комбинаций и если число состояний конечно, то конечно и число любых их сочетаний, а также последовательностей сочетаний. Например, частица газа в пустом стакане, закрытом сверху, только до некоторого времени, может быть "оригинальной" в фазовой траектории (координата - скорость), затем она вынуждена будет повторять свои предыдущие состояния, исчерпав все возможные. Ведь в любом конечном объеме число квантов пространства конечно, следовательно, конечно и число координат или положений. Точно также конечно и число скоростей и последовательностей, образованных сочетанием координата - скорость.
Таким образом, дискретный мир, который бы состоял только из трех квантов пространства, последовательно расположенных друг за другом, и одной материальной частицы, обладающей возможностью перемещений только с тремя скоростями, в самом неблагоприятном случае вынужден был бы повторять одну из своих "историй" движения (или развития) через каждые 27 квантов времени. Если добавить влияние законов движения или "закономерного", то получится только уменьшение числа возможных вариантов.
Здесь можно придраться к тому, что траектория не замкнута, что переход в соседний квант пространства через квант времени есть только одна скорость - скорость света, все это так и все это можно учесть через усложнение модели. Однако главное в нашем мысленном опыте все же останется - число "историй" движения будет конечно.
Обобщая это наблюдение, можно утверждать, что любая конечная последовательность событий или история дискретного мира на конечном промежутке времени и пространства, состоявшаяся хотя бы один раз, неизбежно должна повториться во времени, если этот мир конечен в пространстве но не ограничен во времени, или существовать параллельно во времени в другом месте пространства, если оно бесконечно. Последнее положение можно пояснить и так: если у нас будет бесконечное число стаканов с частицами, то всегда найдутся, по крайней мере, два стакана, для которых траектории частиц будут полностью совпадать на любом конечном промежутке времени.
Это положение не ново для атомизма, его разделяли Демокрит, Эпикур, Лукреций Кар, Джордано Бруно. Мне неизвестны аргументы предшественников, и хотя я получил свои выводы независимо, нельзя исключать того, что я повторяю ранее высказанные аргументы. Если это так, то это и будет одним из подтверждений нашего положения "о повторяемости", а если нет, то новые аргументы укрепят нашу общую позицию.
Как это ни печально, но материя неизбежно будет повторять эпизод с Джордано и каждым из нас во времени или пространстве так же, как она повторяет историю выпадения монеты гербом несколько раз подряд. Ведь для бесконечного времени или бесконечного пространства реализуется любая, сколь угодно малая вероятность.
Тех, кого смущает слово "бесконечный" могут в любом месте заменить его "достаточно длительным промежутком", потому что я разделяю мнение Галилея: "бесконечное для нас по существу непостижимо".
Когда мы говорим, что для того чтобы повториться необходимо вначале хотя бы один раз состояться, то мы имеем в виду, что этот мир не является полным хаосом, что в нем существуют не все мыслимые сочетания квантов материи в пространстве и времени, а только, те, которые не противоречат закономерному. То, что один раз состоялось в дискретном мире, не может не повториться так же, как не может не повториться любая конечная последовательность выпадения сторон монеты при ее бесконечном бросании.
Если предположить что мир состоит из квантов, то всегда есть принципиальная возможность описать "мгновенное" состояние любой, сколь угодно сложной системы, через чередование нулей и единиц. Для описания состояния кванта должно быть достаточно однозначности типа "да" или "нет" (0 или 1) уже потому, что нет ничего проще, чем да или нет.
Предполагая принципиальную возможность оценки полного состояния конечной в пространстве вселенной или ее части для любого кванта времени, мы не разделяем мнение Лапласа о полной предсказуемости ее состояния для следующего кванта времени. Мы признаем случайное таким же атрибутом материи, каким выступает трехмерность для кванта пространства.
8. ИСТОРИЯ ОБОСНОВАНИЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА С ПОЗИЦИЙ МЕХАНИКИ

Выше мы говорили о том, что нормальный закон является следствием двух первых аксиом, но в природе мы лишены возможности наблюдения за материей на самом низком уровне, где можно было бы проследить их выполнение. Таким образом, наше следствие, являясь доступным для наблюдения, переходит в разряд закона. Но тогда его невозможно "строго доказать" точно также, как невозможно доказать любой из трех законов механики Ньютона.
Как всякий закон природы он доступен для наблюдения и осмысления, но доказать этот закон все равно что ответить на вопрос "почему этот мир такой, а не иной". (Последний вопрос необычайно интересен, но, к сожалению принципиально неразрешим, так как не поддается опытной проверке, поскольку нет возможности увидеть другой мир и сравнить с нашим.) И, тем не менее, мы знаем о доказательствах Гаусса, Максвелла и Больцмана. Если мы правы, то эти доказательства не выдержат критики, и мы это покажем, но прежде следует отметить, что открыть закон и объяснить механизм его действия это не одно и то же.
Мы благодарны Гауссу за открытие закона нормального распределения случайных погрешностей, Максвеллу за гениальную догадку о том, что термодинамический процесс должен подчиняться этому закону, а Больцману за утверждение идеи случайного в физике. Но мы не можем принять их доказательства, они неправильно показывают механизм действия случайного, и поэтому мешают нам идти дальше.
Доказательство Гаусса подвергалось серьезному анализу и мне достаточно сослаться на Крылова: "Приведенный вывод формулы Гаусса (закона нормального распределения) заключает ряд более или менее произвольных допущений, другие выводы этой формулы также не свободны от этого недостатка, поэтому формула Гаусса подвергалась многократно проверке опытным путем" [13].
Необычайно важным в доказательстве Гаусса было то, что он показал неразрывную связь между методом наименьших квадратов и нормальным законом: не будет при обработке погрешностей применен методом наименьших квадратов - не будет и нормального закона. Гаусс так обрадовался этому открытию, что сформулировал специальный принцип механики, отражающий этот факт, но не знал к чему его можно применить, так чтобы это не было смешно.
Сегодня об этом принципе знают лишь историки науки, один только Максвелл понял, что он может быть применен к термодинамическому процессу. Максвеллу дано было понять, что квадраты расстояний Гаусса это не что иное, как квадраты скоростей, а погрешности это и есть скорости частиц. Мы не собираемся переписывать историю в этом месте, мы только хотим показать, что открытие всегда подготовлено предшественниками. Мы же все склонны приписывать последнему, и потом удивляться, как же это ему удалось одному.
Итак, Максвелл, располагающий результатами Гаусса, по сути, повторил их, но с неизбежно большими "произвольными допущениями", потому что рассматривал реальный физический процесс. Мы остановимся подробнее на позиции Больцмана, который на момент своего доказательства знал, что именно ему надо получить и располагал результатами Гаусса и Максвелла.
Больцман предположил, что если суммарную энергию системы распределить между частицами термодинамического процесса всеми возможными способами, а затем выбрать тот, который с учетом перестановочности повторяется наибольшее количество раз, то это и будет решение природы. Другими словами в природе должны реализовываться наиболее вероятные состояния.
Это предположение заманчиво, но внутренне противоречиво - если реализуются только наиболее вероятные состояния, то с чем мы должны их сопоставлять? Ведь нельзя же их рассматривать по отношению к самим себе, а к другим состояниям тем более, потому что они никогда не реализуются. Для выхода из этого логического затруднения было предложено много чепухи, которая всерьез обсуждается и по сей день. Выхода здесь нет, так как не верно исходное предположение, но так устроен человек - изо всех сил он продлевает жизнь отживающему.
Однако предположим, что каким то чудесным образом, природа угадывает это решение и нам остается только правильно выписать все возможные варианты распределений энергии и выбрать из них наиболее вероятный. Больцман предлагает вначале рассмотреть случай, когда вся энергия приходится на одну частицу. Тогда для такого распределения возможно число вариантов, равное числу частиц, поскольку каждая частица имеет одинаковые права на эту энергию.
Затем анализируется случай, когда энергия делится пополам между двумя частицами, и число вариантов или перестановок в этом случае намного больше, чем в первом. Следовательно, и вероятность этого распределения выше. Если продолжить этот процесс дробления энергий, то наиболее вероятным должно оказаться нормальное распределение. Покажем, как число перестановок связано с нашими порциями энергий.
Пусть мы имеем три частицы, каждая из которых имеет одинаковую энергию. Тогда по Больцману число перестановок этого распределения равно нулю, а повторяемость единице (111). Если две частицы имеют одинаковую энергию, а энергия третьей отличается, то тогда повторяемость равна трем (112 211 121). Если все три частицы имеют разные энергии, то повторяемость равна шести (123 312 231 132 213 321).
Из этого примера следует, что наибольшей перестановочностью обладают распределения, у которых нет повторений или одинаковых значений энергий. Но эти распределения не имеют никакого отношения к нормальному закону, для которого повторяемость энергий тем больше, чем ближе энергия к среднему значению (см. рис.2). Таким образом, следуя предположениям Больцмана, нормальный закон никак не может претендовать на роль наиболее вероятного, так как повторяемость энергий неизбежно снижает перестановочность!
Вы скажете, что со времен Максвелла и Больцмана много воды утекло, что современная статистическая механика уже не та. Математического формализма, конечно, прибавилось, но в своих основаниях она также беспомощна, как и 150 лет назад. Все тоже желание перехитрить самих себя за счет подмены миллиардов столкновений схемами подсчета перестановок.
В заключение обсуждения термодинамической проблемы отметим, что одним людям достаточно знаний о мире, следующих из непосредственных ощущений. Им невозможно объяснить, что земля меньше солнца, потому что они смотрят на небо и видят обратное. Другим же необходимо предположить землю много меньшей солнца и вращающейся вокруг него, иначе они не смогут объяснить ряд явлений, о которых первые люди и не подозревают.
Точно также людям, придумавшим полезные тепловые машины, достаточно знаний о том, что 2-й закон термодинамики никогда не нарушается. Другим же необходимо предположить, что это не закон, а следствие миллиардов столкновений молекул, причем следствие не обязательное. Тогда они смогут объяснить энергию торнадо или урагана, и от этого объяснения тепловые машины не станут работать хуже. Настоящие знания о природе никогда и никому не могут помешать, потому что они отрицают не опыт, а его толкование.
Анализируя предположения Чебышева, позволившие ему "доказать" центральную предельную теорему или нормальный закон, опираясь на одни лишь туманные предположения о "равномерно малом влиянии отдельного слагаемого на всю сумму", для меня остается загадкой как человек, так ясно видевший материю в виде рычагов и шарниров в одном месте, мог допустить, что в другом месте материя другая, что в другом месте она не требует ясности рычага Архимеда.
В доказательствах проявлени

Источник: http://piramyd.express.ru/disput/cherny/slir.htm